微分積分例

$3 y \frac{d y}{d x} = 2 x^{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$3 y d y = 2 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 3 y d y = \int 2 x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int y d y = \int 2 x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 2 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

まとめる。

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{2 x^{3}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.1.3

まとめる。

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\frac{2}{3}$ と $K$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{2 K}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.2.1

$\frac{2 K}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

ステップ 3.4.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$2$ を $4 x^{3} + 2 K \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.4.1.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

ステップ 3.4.4.1.2

$2$ を $2 K \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

ステップ 3.4.4.1.3

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

ステップ 3.4.4.2

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{9}}$

ステップ 3.4.5

$\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.5.1

$2 (2 x^{3} + 3 K)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}{9}}$

ステップ 3.4.5.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.4.5.3

分数 $\frac{1^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}$

ステップ 3.4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}$

ステップ 3.4.7

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{3}$

微分積分 例

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