微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x$ を $4 x + x y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x \cdot 4 + x (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ に $4 + y^{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{4 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

ステップ 1.4

$4 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$4 + y^{2}$ を $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ です。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{y}{2})$ をまとめます。

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ を $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 2 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 2 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $2 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $2 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ の各項に $2$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.1.2.2

$\frac{1}{2}$ と $\arctan (\frac{y}{2})$ をまとめます。

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ を簡約します。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.2

$\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1.2.1

$\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ と $2$ を並べ替えます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.3

${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.4

簡約します。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

ステップ 3.1.3.1.5

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

ステップ 3.4.1.2

式を書き換えます。

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$

微分積分 例

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