微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

ステップ 1.2.2

まとめる。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ を $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ を $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

ステップ 1.2.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

ステップ 1.2.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

ステップ 1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

ステップ 1.2.5

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 2.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2.1.2

$9 y^{2}$ を ${(3 y)}^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2.2

$u = 3 y$ とします。次に $d u = 3 d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = 3 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$3 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (u)$ である

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $3 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ の各項に $3$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ の各項に $3$ を掛けます。

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{3}$ と $\arcsin (3 y)$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

ステップ 3.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

ステップ 3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

ステップ 3.1.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

ステップ 3.1.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

ステップ 3.1.3.1.3

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

ステップ 3.3

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$

微分積分 例

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