微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = \sqrt{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

微分積分 例