微分積分例

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x e^{2 y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ と $e^{2 y}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.3

$4 + e^{2 y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$4 + e^{2 y}$ を $x (4 + e^{2 y})$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u_{2} = 4 + e^{2 y}$ とします。次に $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u_{2} = 4 + e^{2 y}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$4 + e^{2 y}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

ステップ 4.2.1.1.2

微分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

総和則では、 $4 + e^{2 y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

ステップ 4.2.1.1.2.2

$4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

ステップ 4.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.3.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.1.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 4.2.1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

ステップ 4.2.1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

ステップ 4.2.1.1.3.5

$2$ を $e^{2 y}$ の左に移動させます。

$0 + 2 e^{2 y}$

ステップ 4.2.1.1.4

$0$ と $2 e^{2 y}$ をたし算します。

$2 e^{2 y}$

ステップ 4.2.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{2}$ のすべての発生を $4 + e^{2 y}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例