微分積分例

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} = 6 y - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $6 y$ を引きます。

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ の各項を $3 x - 1$ で割ります。

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

ステップ 1.3

$3 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

ステップ 1.4

$3 x - 1$ を $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{3 x - 1}$

ステップ 1.5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}}{1}$

ステップ 1.5.4

$- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1.7

$y$ を $\frac{- 6 y}{3 x - 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1.8

$y$ と $\frac{- 6}{3 x - 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{3 x - 1} y = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 6}{3 x - 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 6}{3 x - 1} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 6}{3 x - 1}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - \frac{6}{3 x - 1} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{6}{3 x - 1} d x}$

ステップ 2.2.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x)}$

ステップ 2.2.4

$6$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x}$

ステップ 2.2.5

$u = 3 x - 1$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$u = 3 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$3 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 2.2.5.1.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.2.5.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.2.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e^{- 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u}$

ステップ 2.2.6.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 u} d u}$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 2.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$\frac{1}{3}$ と $- 6$ をまとめます。

$e^{\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.8.2

$- 6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.2.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.8.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.8.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 2.2.10

簡約します。

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.11

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$e^{- 2 \ln (| 3 x - 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (3 x - 1)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(3 x - 1)}^{- 2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(3 x - 1)}^{- 2}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- \frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.4

$\frac{6}{3 x - 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$\frac{6 y}{3 x - 1}$ に $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.5.2

指数を足して $3 x - 1$ に ${(3 x - 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$3 x - 1$ に ${(3 x - 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1.1

$3 x - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.2.5.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - 10 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.4

$- 10$ と $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.5

${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を ${(3 x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] d x = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \int \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

ステップ 7.2

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - (10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x)$

ステップ 7.3

$10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

ステップ 7.4

$u = 3 x - 1$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$u = 3 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1

$3 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

ステップ 7.4.1.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.4.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 7.4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 7.4.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 7.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$\frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}} \cdot 3} d u$

ステップ 7.5.2

$3$ を $u^{\frac{8}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{3 u^{\frac{8}{3}}} d u$

ステップ 7.6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u)$

ステップ 7.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1.1

$\frac{1}{3}$ と $- 10$ をまとめます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{- 10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

ステップ 7.7.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

ステップ 7.7.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.2.1

$u^{\frac{8}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 7.7.2.2

${(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 7.7.2.2.2

$\frac{8}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.2.2.2.1

$\frac{8}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u$

ステップ 7.7.2.2.2.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 8}{3}} d u$

ステップ 7.7.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{- \frac{8}{3}} d u$

ステップ 7.8

べき乗則では、 $u^{- \frac{8}{3}}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}}$ です。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$

ステップ 7.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.1

$- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$ を $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$

ステップ 7.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.2.1

$\frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{5}{3}} \cdot 5}) + C$

ステップ 7.9.2.2

$5$ を $u^{\frac{5}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5 \cdot u^{\frac{5}{3}}}) + C$

ステップ 7.9.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = 1 (\frac{10}{3}) \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 7.9.2.4

$\frac{10}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 7.9.2.5

$\frac{10}{3}$ に $\frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10 \cdot 3}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

ステップ 7.9.2.6

$10$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

ステップ 7.9.2.7

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 7.9.2.8

$15$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 7.9.2.9

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.9.2.9.1

$15$ を $15 u^{\frac{5}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 (u^{\frac{5}{3}})} + C$

ステップ 7.9.2.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 7.9.2.9.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{u^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 7.10

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

方程式の両辺から $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ を引きます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

ステップ 8.1.3

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ を足します。

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - C = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

ステップ 8.3

両辺に ${(3 x - 1)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

${(3 x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} {(3 x - 1)}^{2} + C {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2

${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ を ${(3 x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y = 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + C {(3 x - 1)}^{2}$

ステップ 8.4.2.1.3

$2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ と $C {(3 x - 1)}^{2}$ を並べ替えます。

$y = C {(3 x - 1)}^{2} + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

${(3 x - 1)}^{2}$ を $(3 x - 1) (3 x - 1)$ に書き換えます。

$y = C ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 1) (3 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = C (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = C (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = C (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = C (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y = C (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$y = C (9 x^{2} - 6 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.4

分配則を当てはめます。

$y = C (9 x^{2}) + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = 9 C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 8.5.5.3

$C$ に $1$ をかけます。

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

微分積分 例

微分積分例