微分積分例

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x - x y + 2$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x - x y + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$1 - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- y + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = - y + 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$1 = - y + 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$- y + 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

ステップ 4.3

$y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- y + 0}{y}$

ステップ 4.3.2.2

$- y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- y}{y}$

ステップ 4.3.3

$y$ を $M$ に代入します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- y}{y}$

ステップ 4.3.3.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - 1 d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

ステップ 6

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{- y}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$y$ に $e^{- y}$ をかけます。

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

ステップ 6.2

$x - x y + 2$ に $e^{- y}$ をかけます。

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = y e^{- y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.2

総和則では、 $y e^{- y} x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y e^{- y} x$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.2

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{- y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.3

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- y$ とします。

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.8

$- 1$ を $e^{- y}$ の左に移動させます。

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.9

$- 1 e^{- y}$ を $- e^{- y}$ に書き換えます。

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.3.10

$e^{- y}$ に $1$ をかけます。

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

分配則を当てはめます。

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 11.5.3

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺に $x y e^{- y}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $x e^{- y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

ステップ 12.1.3

$x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$- x y e^{- y}$ と $x y e^{- y}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

ステップ 12.1.3.2

$x e^{- y} + 2 e^{- y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

ステップ 12.1.3.3

$x e^{- y}$ から $x e^{- y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

ステップ 12.1.3.4

$2 e^{- y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

ステップ 13

$2 e^{- y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

ステップ 13.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

ステップ 13.4

$u = - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.4.1

$u = - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1.1

$- y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 13.4.1.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 13.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 13.4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 13.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

ステップ 13.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

ステップ 13.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

ステップ 13.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

ステップ 13.8

簡約します。

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

ステップ 13.9

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$

微分積分 例

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