微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ を分解し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{- 20 x^{3} + 77 y^{3}}{77 x y^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{3}}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ を $- 20 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{77 x y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.2.1

$x$ を $77 x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (- 20 x^{2})}{x (77 y^{2})} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$77$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{77 y^{3}}{77 x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{3}}{x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$y^{2}$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{x y^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.2.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

ステップ 1.1.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y^{2} y}{y^{2} x}$

ステップ 1.1.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{20 x^{2}}{77 y^{2}} + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{20 x^{2}}{77 y^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20 x}{77 y}) + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2.1.2

$\frac{x}{y}$ と $\frac{20 x}{77 y}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} \cdot \frac{x}{y}) + \frac{y}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20 x}{77 y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

ステップ 1.3

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{20 x}{77 y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{20 x}{77 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{y} \cdot \frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.1.2

$\frac{x}{y}$ と $\frac{20}{77}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{x}{y} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} {(\frac{y}{x})}^{- 1} {(\frac{y}{x})}^{- 1}) + \frac{y}{x}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} V^{- 1} V^{- 1}) + V$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

指数を足して $V^{- 1}$ に $V^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 1 - 1}) + V$

ステップ 6.1.1.1.1.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot V^{- 2}) + V$

ステップ 6.1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - (\frac{20}{77} \cdot \frac{1}{V^{2}}) + V$

ステップ 6.1.1.1.3

まとめる。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20 \cdot 1}{77 V^{2}} + V$

ステップ 6.1.1.1.4

$20$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = - \frac{20}{77 V^{2}} + V$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$

ステップ 6.1.1.2.2

$- \frac{20}{77 V^{2}} + V - V$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} + 0$

ステップ 6.1.1.2.2.2

$- \frac{20}{77 V^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{20}{77 V^{2}}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{20}{77 V^{2}}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{x (77 V^{2})}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

$77$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x V^{2}}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

ステップ 6.1.3

両辺に $V^{2}$ を掛けます。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{20}{77 x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

ステップ 6.1.4.2

まとめる。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

ステップ 6.1.4.3

$V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

$V^{2}$ を $- V^{2}$ で因数分解します。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{77 x V^{2}}$

ステップ 6.1.4.3.2

$V^{2}$ を $77 x V^{2}$ で因数分解します。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

ステップ 6.1.4.3.3

共通因数を約分します。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{20 \cdot 1}{V^{2} (77 x)}$

ステップ 6.1.4.3.4

式を書き換えます。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20 \cdot 1}{77 x}$

ステップ 6.1.4.4

$20$ に $1$ をかけます。

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{20}{77 x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$V^{2} d V = - \frac{20}{77 x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int V^{2} d V = \int - \frac{20}{77 x} d x$

ステップ 6.2.2

べき乗則では、 $V^{2}$ の $V$ に関する積分は $\frac{1}{3} V^{3}$ です。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{20}{77 x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{20}{77 x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{20}{77}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{20}{77}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\frac{20}{77} \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 6.2.3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} V^{3} = - \frac{20}{77} \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} V^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $V^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$V^{3} = 3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$3 (- \frac{20}{77} \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

$\ln (| x |)$ と $\frac{20}{77}$ をまとめます。

$V^{3} = 3 (- \frac{\ln (| x |) \cdot 20}{77} + C)$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$20$ を $\ln (| x |)$ の左に移動させます。

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77} + C)$

ステップ 6.3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$V^{3} = 3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77}) + 3 C$

ステップ 6.3.2.2.1.3

$3 (- \frac{20 \ln (| x |)}{77})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$V^{3} = - 3 \frac{20 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$- 3$ と $\frac{20 \ln (| x |)}{77}$ をまとめます。

$V^{3} = \frac{- 3 (20 \ln (| x |))}{77} + 3 C$

ステップ 6.3.2.2.1.3.3

$20$ に $- 3$ をかけます。

$V^{3} = \frac{- 60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

ステップ 6.3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$V^{3} = - \frac{60 \ln (| x |)}{77} + 3 C$

ステップ 6.3.3

対数の中の $60$ を移動させて $60 \ln (| x |)$ を簡約します。

$V^{3} = - \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C$

ステップ 6.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$

ステップ 6.3.5

$\sqrt[3]{- \frac{\ln ({| x |}^{60})}{77} + 3 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

$\frac{\ln ({| x |}^{60})}{77}$ を $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ に書き換えます。

$V = \sqrt[3]{- (\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})) + 3 C}$

ステップ 6.3.5.2

対数の中の $\frac{1}{77}$ を移動させて $\frac{1}{77} \ln ({| x |}^{60})$ を簡約します。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}) + 3 C}$

ステップ 6.3.5.3

${({| x |}^{60})}^{\frac{1}{77}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{60 (\frac{1}{77})}) + 3 C}$

ステップ 6.3.5.3.2

$60$ と $\frac{1}{77}$ をまとめます。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + 3 C}$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

ステップ 8.2.1.2

式を書き換えます。

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{\frac{60}{77}}) + C} x$

微分積分 例

微分積分例