微分積分例

$2 y - 3 x + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$2 y + 3 + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 y + (x + 1) \frac{d y}{d x} = 3 x - 3$

ステップ 1.1.3

項を並べ替えます。

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$

ステップ 1.2

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x - 3$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 1.3

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{2 y}{x + 1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x + 1} = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{2}{x + 1}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x + 1} y = \frac{3 x}{x + 1} + \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{2}{x + 1}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{2}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{2}{x + 1}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

ステップ 2.2.2

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.2.2.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{2 \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.5

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$e^{2 \ln (| x + 1 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 \ln (x + 1)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x + 1)}^{2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x + 1)}^{2}$

ステップ 2.6

${(x + 1)}^{2}$ を $(x + 1) (x + 1)$ に書き換えます。

$(x + 1) (x + 1)$

ステップ 2.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

ステップ 2.7.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

ステップ 2.7.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

ステップ 2.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

ステップ 2.8.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

ステップ 2.8.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

ステップ 2.8.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + x + 1$

ステップ 2.8.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{2} + 2 x + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $x^{2} + 2 x + 1$ を掛けます。

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{2}{x + 1} y) = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.3

$\frac{2}{x + 1}$ と $y$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.4

$x^{2} + 2 x + 1$ に $\frac{2 y}{x + 1}$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.5

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.2.5.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.5.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2 y}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.6

${(x + 1)}^{2}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2} \cdot 2 y$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{x + 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 2 y)}{(x + 1) \cdot 1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) \cdot 2 y}{1} = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.6.2.4

$(x + 1) \cdot 2 y$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x + 1) \cdot 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.7

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.8

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.9

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + (2 \cdot x + 2) y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.2.10

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x^{2} + 2 x + 1) \frac{3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x^{2} + 2 x + 1$ に $\frac{3 x}{x + 1}$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1) (3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.3.2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 3 x}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.3

${(x + 1)}^{2}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x + 1$ を ${(x + 1)}^{2} \cdot 3 x$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{x + 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) ((x + 1) \cdot 3 x)}{(x + 1) \cdot 1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = \frac{(x + 1) \cdot 3 x}{1} + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.3.2.4

$(x + 1) \cdot 3 x$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x + 1) \cdot 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.4

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (x \cdot 3 + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.5

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 1 \cdot 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = (3 \cdot x + 3) x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.7

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x \cdot x + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.8

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.8.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 (x \cdot x) + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.8.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{- 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.9

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.10

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + x^{2} (- \frac{3}{x + 1}) + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + 2 x (- \frac{3}{x + 1}) + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.11.2

$2 x (- \frac{3}{x + 1})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} - 2 x \frac{3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.11.2.2

$- 2$ と $\frac{3}{x + 1}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 2 \cdot 3}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.11.2.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + x \frac{- 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.11.2.4

$x$ と $\frac{- 6}{x + 1}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} + 1 (- \frac{3}{x + 1})$

ステップ 3.3.11.3

$- \frac{3}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - x^{2} \frac{3}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

ステップ 3.3.12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.12.1

$\frac{3}{x + 1}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{x \cdot - 6}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

ステップ 3.3.12.2

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} + \frac{- 6 \cdot x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

ステップ 3.3.12.3

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - \frac{3 x^{2}}{x + 1} - \frac{6 x}{x + 1} - \frac{3}{x + 1}$

ステップ 3.3.13

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 x^{2} - 6 x - 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.1

$3$ を $- 3 x^{2} - 6 x - 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) - 6 x - 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.1.2

$3$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.1.3

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.1.4

$3$ を $3 (- x^{2}) + 3 (- 2 x)$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.1.5

$3$ を $3 (- x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 x - 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.2.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 2 (x) - 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.2.1.2

$- 2$ を $- 1$ プラス $- 1$ に書き換える

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x^{2} - 1 x - 1 x - 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (x (- x - 1) + 1 (- x - 1))}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.2.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 ((- x - 1) (x + 1))}{x + 1}$

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.14.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x) - 1 (1)) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.4

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 (- 1 (x + 1)) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.5

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.6

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{3 \cdot - 1 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 3.3.14.3.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

ステップ 3.3.15

${(x + 1)}^{2}$ と $x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.15.1

$x + 1$ を $- 3 {(x + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 3.3.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.15.2.1

$1$ を掛けます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

ステップ 3.3.15.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{(x + 1) (- 3 (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

ステップ 3.3.15.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x + \frac{- 3 (x + 1)}{1}$

ステップ 3.3.15.2.4

$- 3 (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 (x + 1)$

ステップ 3.3.16

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot 1$

ステップ 3.3.17

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$

ステップ 3.4

$3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} + 0 - 3$

ステップ 3.4.2

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 2 x y + 2 y = 3 x^{2} - 3$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] = 3 x^{2} - 3$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] d x = \int 3 x^{2} - 3 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} - 3 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = \int 3 x^{2} d x + \int - 3 d x$

ステップ 7.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 \int x^{2} d x + \int - 3 d x$

ステップ 7.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 d x$

ステップ 7.4

定数の法則を当てはめます。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 x + C$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 3 x + C$

ステップ 7.5.2

簡約します。

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$

ステップ 8

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ の各項を $x^{2} + 2 x + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$(x^{2} + 2 x + 1) y = x^{3} - 3 x + C$ の各項を $x^{2} + 2 x + 1$ で割ります。

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x^{2} + 2 x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) y}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 8.3.1.1.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 8.3.1.2.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{- 3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1}$

ステップ 8.3.1.4

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

ステップ 8.3.1.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 8.3.1.4.3

多項式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 8.3.1.4.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例