微分積分例

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1 + x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

ステップ 1.4

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

ステップ 2

$N (x, y) = - (1 + x^{2})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (1 + x^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

ステップ 2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x = - 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x = - 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$- 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

ステップ 4.3

$- (1 + x^{2})$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- (1 + x^{2})$ を $N$ に代入します。

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$x$ を $x - (- 2 x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.2.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.2.1.3

$x$ を $- (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.2.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

ステップ 4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

ステップ 5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

ステップ 5.4

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.4.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.4.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 5.4.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.4.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.4.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 5.4.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 5.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

ステップ 5.5.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

ステップ 5.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 5.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 5.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 5.9

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

ステップ 5.10

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

ステップ 5.11

各項を簡約します。

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ステップ 5.11.1

$- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ を掛けます。

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ステップ 5.11.1.1

$\ln (| 1 + x^{2} |)$ と $\frac{3}{2}$ を並べ替えます。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

ステップ 5.11.1.2

対数の中の $\frac{3}{2}$ を移動させて $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

ステップ 5.11.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

ステップ 5.11.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

ステップ 5.11.4

${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.11.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

ステップ 5.11.4.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.4.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

ステップ 5.11.4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

ステップ 5.11.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.11.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 6

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$1 + x y$ に $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$1 + x y$ に $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$- (1 + x^{2})$ に $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.6

$- 1 - x^{2}$ に $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.9

$- 1$ を $- 1 (1) - (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 6.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$y$ と $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 8.2.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{1}$ を分母に移動させます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

ステップ 8.2.3

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ に ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

ステップ 8.2.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

ステップ 8.2.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

ステップ 8.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

ステップ 8.2.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.3.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

ステップ 8.2.3.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + x^{2}$ とします。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.5

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.8

${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.8.2.3

式を書き換えます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.11

公分母の分子をまとめます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.14

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.15

$\frac{1}{2}$ と ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.16

$2$ と $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.17

$\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.19

共通因数を約分します。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.20

式を書き換えます。

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.21

$\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ をまとめます。

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.22

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.23

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.23.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.23.1.1

$1 + x^{2}$ を $1$ 乗します。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.23.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.23.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.23.3

公分母の分子をまとめます。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.23.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.24

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.25

$y$ に $1$ をかけます。

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.3.26

$y$ と $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$y x - 1 - x y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$y x$ と $- x y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$x y$ から $x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.3

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 13.3

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

ステップ 13.4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.5

$\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.5.2

${(\sec^{2} (t))}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.5.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.5.3

$\sec^{6} (t)$ を ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ に書き換えます。

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.6

$\sec^{2} (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.6.1

$\sec^{2} (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.6.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 13.6.3

式を書き換えます。

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

ステップ 13.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

ステップ 13.7.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (t)}$ で割ります。

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

ステップ 13.7.3

$\cos (t)$ に $1$ をかけます。

$g (x) = \int \cos (t) d t$

ステップ 13.8

$\cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\sin (t)$ です。

$g (x) = \sin (t) + C$

ステップ 13.9

$t$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arctan (x))$ は $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

ステップ 15.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.3.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

ステップ 15.1.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

ステップ 15.1.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

ステップ 15.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

ステップ 15.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

ステップ 15.1.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

ステップ 15.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

ステップ 15.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

ステップ 15.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

ステップ 15.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

ステップ 15.1.3.6.5

簡約します。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

ステップ 15.2

$- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

ステップ 15.3

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

$\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.2

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 + x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.1.1

$1 + x^{2}$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.2.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.3

$\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ に $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.4

指数を足して $1 + x^{2}$ に ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.4.1

$1 + x^{2}$ に ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.4.1.1

$1 + x^{2}$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

ステップ 15.4.4.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.5

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.4

指数を足して ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.4.1

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.4.3

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.4.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.5

$x {(1 + x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.6

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.7

$x$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.8

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.8.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.8.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.8.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.9

因数分解した形で $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.9.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.6.9.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.9.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

ステップ 15.6.9.2

最大公約数 $- 1 - x^{2}$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

微分積分 例

微分積分例