微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

ステップ 1.2

両辺に $e^{y - 1}$ を掛けます。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

まとめる。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

ステップ 1.3.2

$e^{y - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$e^{y - 1}$ を ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ で因数分解します。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.3.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.3.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ を $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.2.3

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

分数 $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ を2つの分数に分割します。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

ステップ 3.3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分数 $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ を2つの分数に分割します。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

ステップ 3.3.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

微分積分 例

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