微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 5 e^{\cos (x)}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$y$ を $y \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 5 e^{\cos (x)}$

ステップ 1.2

$y$ と $\cot (x)$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 5 e^{\cos (x)}$

ステップ 2

$P (x) = \cot (x)$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \cot (x) d x}$

ステップ 2.2

$\cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sin (x) |)$ です。

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\sin (x))}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\sin (x)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

ステップ 3.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$\sin (x)$ と $\cot (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

ステップ 3.2.2

正弦と余弦に関して $\sin (x) (\cot (x) y)$ を書き換えます。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

ステップ 3.2.3

共通因数を約分します。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$

ステップ 3.4

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\sin (x) y = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\sin (x) y = 5 \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

ステップ 7.2

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.2.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 7.2.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 7.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\sin (x) y = 5 \int - e^{u} d u$

ステップ 7.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sin (x) y = 5 (- \int e^{u} d u)$

ステップ 7.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\sin (x) y = - 5 \int e^{u} d u$

ステップ 7.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\sin (x) y = - 5 (e^{u} + C)$

ステップ 7.6

簡約します。

$\sin (x) y = - 5 e^{u} + C$

ステップ 7.7

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$

ステップ 8

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ の各項を $\sin (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ の各項を $\sin (x)$ で割ります。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.1.2

分数を分解します。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.1.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

ステップ 8.3.1.4

$C$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + C \csc (x)$

微分積分 例

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