微分積分例

$\frac{d y}{d x} + x^{2} y = x^{2}$

ステップ 1

$P (x) = x^{2}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int x^{2} d x}$

ステップ 1.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$e^{\frac{1}{3} x^{3} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{3} x^{3}}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ を掛けます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{3}}{3}} (x^{2} y) = e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}$

ステップ 2.2

$e^{\frac{x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{3}}{3}} (x^{2} y) = e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} \frac{d y}{d x} + x^{2} y e^{\frac{x^{3}}{3}} = x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{3}}{3}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{3}}{3}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u_{2} = e^{\frac{x^{3}}{3}}$ とします。次に $d u_{2} = x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}} d x$ すると、 $\frac{1}{x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u_{2} = e^{\frac{x^{3}}{3}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1.1

$e^{\frac{x^{3}}{3}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{3}}{3}}]$

ステップ 6.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x^{3}}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{x^{3}}{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$

ステップ 6.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$

ステップ 6.1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x^{3}}{3}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$

ステップ 6.1.1.3

微分します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 6.1.1.3.2

$\frac{1}{3}$ と $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x^{3}}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 6.1.1.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x^{3}}{3}}}{3} (3 x^{2})$

ステップ 6.1.1.3.4

項を簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.4.1

$3$ と $\frac{e^{\frac{x^{3}}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 e^{\frac{x^{3}}{3}}}{3} x^{2}$

ステップ 6.1.1.3.4.2

$\frac{3 e^{\frac{x^{3}}{3}}}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}}{3}$

ステップ 6.1.1.3.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.3.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}}{3}$

ステップ 6.1.1.3.4.3.2

$e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}$

ステップ 6.1.1.3.4.4

$e^{\frac{x^{3}}{3}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{\frac{x^{3}}{3}}$

ステップ 6.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = \int d u_{2}$

ステップ 6.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = u_{2} + C$

ステップ 6.3

答えを簡約します。

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ステップ 6.3.1

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = e^{\frac{x^{3}}{3}} + C$

ステップ 6.3.2

項を並べ替えます。

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = e^{\frac{1}{3} x^{3}} + C$

ステップ 7

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = e^{\frac{1}{3} x^{3}} + C$ の各項を $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{\frac{x^{3}}{3}} y = e^{\frac{1}{3} x^{3}} + C$ の各項を $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{x^{3}}{3}} y}{e^{\frac{x^{3}}{3}}} = \frac{e^{\frac{1}{3} x^{3}}}{e^{\frac{x^{3}}{3}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{\frac{x^{3}}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{x^{3}}{3}} y}{e^{\frac{x^{3}}{3}}} = \frac{e^{\frac{1}{3} x^{3}}}{e^{\frac{x^{3}}{3}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{\frac{1}{3} x^{3}}}{e^{\frac{x^{3}}{3}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{\frac{1}{3} x^{3}}$ と $e^{\frac{x^{3}}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{\frac{x^{3}}{3}}$ を $e^{\frac{1}{3} x^{3}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{\frac{x^{3}}{3}} e^{\frac{\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}}{3}}}{e^{\frac{x^{3}}{3}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{\frac{x^{3}}{3}} e^{\frac{\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}}{3}}}{e^{\frac{x^{3}}{3}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{\frac{x^{3}}{3}} e^{\frac{\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}}{3}}}{e^{\frac{x^{3}}{3}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}}{3}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$e^{\frac{\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}}{3}}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{\frac{\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$x^{3}$ を $\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3 - x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 7.3.1.2.1.1

$x^{3}$ を $\frac{1}{3} x^{3} \cdot 3$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{x^{3} (\frac{1}{3} \cdot 3) - x^{3}}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.2.1.2

$x^{3}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{x^{3} (\frac{1}{3} \cdot 3) + x^{3} \cdot - 1}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.2.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} (\frac{1}{3} \cdot 3) + x^{3} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{x^{3} (\frac{1}{3} \cdot 3 - 1)}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = e^{\frac{x^{3} (\frac{1}{3} \cdot 3 - 1)}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y = e^{\frac{x^{3} (1 - 1)}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.2.3

$1$ から $1$ を引きます。

$y = e^{\frac{x^{3} \cdot 0}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.3

$x^{3}$ に $0$ をかけます。

$y = e^{\frac{0}{3}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.4

$0$ を $3$ で割ります。

$y = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

ステップ 7.3.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{3}}{3}}}$

微分積分 例

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