微分積分例

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ を引きます。

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

まとめる。

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{\ln (y) y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.5

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.6

$x^{2} \ln (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u = \ln (y)$ とします。次に $d u = \frac{1}{y} d y$ すると、 $y d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u = \ln (y)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\ln (y)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

ステップ 4.2.1.1.2

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$\frac{1}{y}$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (y)$ で置き換えます。

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

ステップ 4.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

ステップ 5.2

対数の定義を利用して $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

ステップ 5.3

$y$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式を $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ として書き換えます。

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

ステップ 5.3.2

$y$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

ステップ 5.3.2.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

ステップ 5.3.2.3

対数の定義を利用して $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

ステップ 5.3.2.4

方程式を $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ として書き換えます。

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

$e^{- 3 x + C}$ を $e^{- 3 x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

ステップ 6.2

$e^{- 3 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

ステップ 6.3

定数を正または負でまとめます。

$y = e^{C e^{- 3 x}}$

微分積分 例

微分積分例