微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = c x + d$ とします。次に $d u = c d x$ すると、 $\frac{1}{c} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = c x + d$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$c x + d$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $c x + d$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ です。

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [c x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

$c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $c x$ の微分係数は $c \frac{d}{d x} [x]$ です。

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$c$ に $1$ をかけます。

$c + \frac{d}{d x} [d]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1.4.1

$d$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $d$ の微分係数は $0$ です。

$c + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$c$ と $0$ をたし算します。

$c$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ に $\frac{1}{c}$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{c}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{c}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

ステップ 2.3.4

分数を複数の分数に分割します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

ステップ 2.3.5

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.6

$a$ は $u$ に対して定数なので、 $a$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ に $\frac{c}{c}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.2

まとめる。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.4

$c$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.4.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.5

$c$ と $\frac{d}{c}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.6

$c$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.6.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.7.6.2

$d$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{c}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{c}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.9

分数を複数の分数に分割します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.10

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.11

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.11.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.11.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.12

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.14

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.15

$d$ は $u$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.16

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.17

$\frac{1}{c}$ と $a$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

ステップ 2.3.18

$b$ は $u$ に対して定数なので、 $b$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.19

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

ステップ 2.3.20

簡約します。

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ステップ 2.3.20.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2

簡約します。

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ステップ 2.3.20.2.1

$b \ln (| u |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{c}{c}$ を掛けます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2.3

$\frac{1}{c}$ に $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2.4

$c$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2.5

$c$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

ステップ 2.3.20.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

ステップ 2.3.21

$u$ のすべての発生を $c x + d$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$

微分積分 例

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