微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ に $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.2

$\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ に $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x^{2}$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.5

$y^{2}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.7

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.7.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.8

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.8.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

ステップ 1.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

ステップ 1.8.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

ステップ 1.9

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

ステップ 1.10

$y$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

ステップ 1.11

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

ステップ 1.12

商の法則 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ の累乗を利用します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

ステップ 1.13

$\frac{2 y}{x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

ステップ 1.13.2

$\frac{y}{x}$ と $2$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

ステップ 6.1.1.1.2

分数 $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ を2つの分数に分割します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

ステップ 6.1.1.1.3

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.3.1

$- V$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

ステップ 6.1.1.1.3.2

$\frac{- V}{1}$ に $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

ステップ 6.1.1.1.3.3

$\frac{- V}{1}$ に $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

ステップ 6.1.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.5.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.5.4.1

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.5.4.1.1

$V$ を移動させます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.5.4.1.2

$V$ に $V$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.5.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.6

$V^{2}$ から $2 V^{2}$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.7

項を並べ替えます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.8

分数 $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ を2つの分数に分割します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.9

$V$ を $- V^{2} - 3 V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.9.1

$V$ を $- V^{2}$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.9.2

$V$ を $- 3 V$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.1.9.3

$V$ を $V (- V) + V \cdot - 3$ で因数分解します。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.2.3

$- 3$ を $V$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.2.4

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.2.4.1

$V$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.2.4.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.3.1

$- 1$ を $- V^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.2

$- 1$ を $- 3 V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.3

$- 1$ を $- (V^{2}) - (3 V)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.4

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.5

$- 1$ を $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.3.6.1

$- (V^{2} + 3 V - 2)$ を $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ に書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.2.3.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ を掛けます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4.2

$\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

ステップ 6.1.4.3

$2 V + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

$- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

ステップ 6.1.4.3.2

$2 V + 3$ を $- (2 V + 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

ステップ 6.1.4.3.3

$2 V + 3$ を $(2 V + 3) x$ で因数分解します。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

ステップ 6.1.4.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

ステップ 6.1.4.3.5

式を書き換えます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

ステップ 6.1.4.4

$V^{2} + 3 V - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

ステップ 6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$u = V^{2} + 3 V - 2$ とします。次に $d u = (2 V + 3) d V$ すると、 $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$u = V^{2} + 3 V - 2$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$V^{2} + 3 V - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.2.1

総和則では、 $V^{2} + 3 V - 2$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.3

$\frac{d}{d V} [3 V]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.3.1

$3$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $3 V$ の微分係数は $3 \frac{d}{d V} [V]$ です。

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.4.1

$- 2$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 V + 3 + 0$

ステップ 6.2.2.1.1.4.2

$2 V + 3$ と $0$ をたし算します。

$2 V + 3$

ステップ 6.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$u$ のすべての発生を $V^{2} + 3 V - 2$ で置き換えます。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

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ステップ 6.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ を解きます。

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ステップ 8.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 8.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

ステップ 8.3

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

ステップ 8.3.2

$3$ と $\frac{y}{x}$ をまとめます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

ステップ 8.4

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

ステップ 8.5

分配則を当てはめます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

ステップ 8.6.1.2

共通因数を約分します。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

ステップ 8.6.1.3

式を書き換えます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

ステップ 8.6.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

ステップ 8.6.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$

微分積分 例

微分積分例