微分積分例

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x d x$ を引きます。

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

ステップ 3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = x$ です。

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ をかけます。

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

ステップ 3.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ をかけます。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ を $1$ 乗します。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

ステップ 3.5.3

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ を $1$ 乗します。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

ステップ 3.5.6

${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ を $(a + x) (a - x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ を ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

ステップ 3.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

ステップ 3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

ステップ 3.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

ステップ 3.5.6.4.2

式を書き換えます。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

ステップ 3.5.6.5

簡約します。

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

ステップ 3.6

$x$ と $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ をまとめます。

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

ステップ 4.3.2

$u = (a + x) (a - x)$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$u = (a + x) (a - x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.2.1.1

$(a + x) (a - x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

ステップ 4.3.2.1.2

$f (x) = a + x$ および $g (x) = a - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3

微分します。

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ステップ 4.3.2.1.3.1

総和則では、 $a - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.2

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.6.2

$- 1$ を $a + x$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.6.3

$- 1 (a + x)$ を $- (a + x)$ に書き換えます。

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

ステップ 4.3.2.1.3.7

総和則では、 $a + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.2.1.3.8

$a$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a$ の微分係数は $0$ です。

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.2.1.3.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.2.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

ステップ 4.3.2.1.3.11

$a - x$ に $1$ をかけます。

$- (a + x) + a - x$

ステップ 4.3.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- a - x + a - x$

ステップ 4.3.2.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.3.2.1.4.2.1

$- a$ と $a$ をたし算します。

$- x + 0 - x$

ステップ 4.3.2.1.4.2.2

$- x$ と $0$ をたし算します。

$- x - x$

ステップ 4.3.2.1.4.2.3

$- x$ から $x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 4.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 4.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 4.3.3.2

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

ステップ 4.3.3.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 4.3.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 4.3.5.2

$\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

ステップ 4.3.7

式を簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

ステップ 4.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $u^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.7.2.2

指数を足して $u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.2.1

$u$ に $u^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.2.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.7.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.7.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3.7.3.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.7.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.7.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.3.8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 4.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.9.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.2.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.9.2.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.9.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $(a + x) (a - x)$ で置き換えます。

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例