微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{2}{y}$ を掛けます。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{y}{2}$ に $\frac{x + 1}{x}$ をかけます。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

ステップ 1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

ステップ 1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

式を書き換えます。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

ステップ 3.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

ステップ 3.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ として書き換えます。

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

ステップ 3.5.4.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.4.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

ステップ 3.5.4.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

ステップ 3.5.4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{x + C}$ を $e^{x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

ステップ 4.3

$e^{x + C}$ を $e^{x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

ステップ 4.4

$e^{x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

微分積分 例

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