微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (3 x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (3 x)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

ステップ 1.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ を $x^{2} \sin (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x^{1}}$

ステップ 1.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (3 x)}{1}$

ステップ 1.3.2.5

$x \sin (3 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (3 x)$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{- y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (3 x)$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{- 1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (3 x)$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 1}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x$ を $x \sin (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (3 x)))$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (3 x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (3 x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int \sin (3 x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 7.1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 7.1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 7.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{x} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 7.2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 7.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

簡約します。

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

ステップ 7.5.2

$\frac{1}{3}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

ステップ 7.6

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

ステップ 7.7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\cos (3 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} x + C x$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ と $\frac{\cos (3 x)}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cos (3 x)}{3} + C x$

ステップ 8.4.2.1.3

$- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x - \frac{x \cos (3 x)}{3}$

微分積分 例

微分積分例