微分積分例

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} y = - x^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $x^{2} y$ を足します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

ステップ 1.1.3

$y^{2} \frac{d y}{d x}$ を $y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$y^{2} \frac{d y}{d x}$ を $y^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

ステップ 1.1.3.2

$y^{2} \frac{d y}{d x}$ を $x y^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x = - x^{2} + x^{2} y$

ステップ 1.1.3.3

$y^{2} \frac{d y}{d x}$ を $y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$

ステップ 1.1.4

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ の各項を $y^{2} (1 + x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ の各項を $y^{2} (1 + x)$ で割ります。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.2.2

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.2.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1.2.2.1

$y$ を $y^{2} (1 + x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

ステップ 1.1.4.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)}$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + x) y^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y (1 + x) y}$

ステップ 1.2.2.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y (1 + x)}$

ステップ 1.2.2.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y^{1} (1 + x)}$

ステップ 1.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1 + 1} (1 + x)}$

ステップ 1.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2} + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.2.4

$x^{2}$ を $- x^{2} + x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.2.4.2

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.2.4.3

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.2.4.4

$x^{2}$ に $- 1 + y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{y^{2}}{- 1 + y}$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} (\frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{x^{2}}{1 + x}$ に $\frac{- 1 + y}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{(1 + x) y^{2}}$

ステップ 1.5.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$y^{2}$ を $(1 + x) y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{1 + x}$

ステップ 1.5.3

$- 1 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$- 1 + y$ を $x^{2} (- 1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

ステップ 1.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

ステップ 1.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ と $y$ を並べ替えます。

$\int \frac{y^{2}}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.2

$y^{2}$ を $y - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

ステップ 2.2.2.2

被除数 $y^{2}$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$y$
	$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

ステップ 2.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	-	$y$

ステップ 2.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y^{2} - y$ の符号をすべて変更します。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$

ステップ 2.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$

ステップ 2.2.2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

ステップ 2.2.2.7

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

ステップ 2.2.2.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					+	$y$	-	$1$

ステップ 2.2.2.9

式は被除数から引く必要があるので、 $y - 1$ の符号をすべて変更します。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$

ステップ 2.2.2.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$
							+	$1$

ステップ 2.2.2.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int y + 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.6.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.6.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.8

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.2.9

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.2

$x^{2}$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.3.2.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 2.3.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.3.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.3.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

ステップ 2.3.2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

ステップ 2.3.2.7

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

ステップ 2.3.2.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

ステップ 2.3.2.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

ステップ 2.3.2.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

ステップ 2.3.2.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2.3.6

$u_{2} = x + 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$u_{2} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.3.6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \ln (| u_{2} |) + C_{7}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

ステップ 2.3.9

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{8}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例