微分積分例

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $(2 x y - e^{y} - x) d x$ を引きます。

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

ステップ 1.2

書き換えます。

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (2 x y - e^{y} - x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $2 x y - e^{y} - x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.2.3

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- e^{y}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

ステップ 2.4.2

$2 x - e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

ステップ 2.5.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

ステップ 2.5.2.3

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

ステップ 3

$N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x e^{y} + y - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{y}$ の微分係数は $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.3.3

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

ステップ 3.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2 x + e^{y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x + e^{y}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

ステップ 4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ は恒等式です。

ステップ 5

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

ステップ 6

$N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

ステップ 6.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

ステップ 6.3

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

ステップ 6.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

ステップ 6.5

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

ステップ 6.6

簡約します。

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

ステップ 7

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.2

総和則では、 $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$e^{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x e^{y}$ の微分係数は $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.3.3

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.4

$\frac{1}{2} y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2} y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.6

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

$e^{y}$ と $0$ をたし算します。

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 9.7.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 10

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$- (2 x y - e^{y} - x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

書き換えます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 10.1.1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

ステップ 10.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

ステップ 10.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

ステップ 10.1.1.4.2

$- - e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

ステップ 10.1.1.4.2.2

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

ステップ 10.1.1.4.3

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

ステップ 10.1.1.4.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

ステップ 10.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.1

方程式の両辺に $2 x y$ を足します。

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

ステップ 10.1.2.2

方程式の両辺から $e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

ステップ 10.1.2.3

$- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.3.1

$- 2 x y$ と $2 x y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

ステップ 10.1.2.3.2

$e^{y} + x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

ステップ 10.1.2.3.3

$e^{y}$ から $e^{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

ステップ 10.1.2.3.4

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x$

ステップ 11

$x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{d g}{d x} = x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

ステップ 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x d x$

ステップ 11.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 13.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

微分積分例