微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 1.2.3.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

ステップ 1.2.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

ステップ 2.3.1.2

分数を複数の分数に分割します。

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ステップ 2.3.1.2.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.2.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.3.1.2.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.1.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.1.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.1.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.1.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.1.3.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.3.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ を $e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例