微分積分例

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 e^{x} y + x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 e^{x} y$ の微分係数は $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

ステップ 1.4.2

$3 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

ステップ 2

$N (x, y) = e^{x}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$3 e^{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $e^{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 e^{x} = e^{x}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$3 e^{x} = e^{x}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$3 e^{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

ステップ 4.3

$e^{x}$ を $N$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$e^{x}$ を $N$ に代入します。

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 4.3.2

$3 e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 4.3.3

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int 2 d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

ステップ 6

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$3 e^{x} y + x$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 6.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 6.3.3

$2 x$ と $x$ をたし算します。

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 6.4

$3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

ステップ 6.5

$e^{x}$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

ステップ 6.6

指数を足して $e^{x}$ に $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 6.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

ステップ 6.6.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = e^{3 x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $e^{3 x} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e^{3 x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.3.7

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.5

簡約します。

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ステップ 11.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 11.5.2

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $3 y e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

ステップ 12.1.2

$3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$3 y e^{3 x}$ から $3 y e^{3 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$x e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

ステップ 13

$x e^{2 x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

ステップ 13.3

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 13.4

簡約します。

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ステップ 13.4.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 13.4.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 13.5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 13.6

括弧を削除します。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

ステップ 13.7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 13.7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 13.7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 13.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 13.7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 13.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 13.8

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 13.9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 13.10

簡約します。

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ステップ 13.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 13.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 13.11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 13.12

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ に書き換えます。

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 13.13

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

ステップ 15

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ を簡約します。

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ステップ 15.1

各項を簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

ステップ 15.1.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 15.2

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

微分積分 例

微分積分例