微分積分例

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + e^{2 y}) d x$ を引きます。

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3.2

$2$ と $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ をまとめます。

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x e^{2 y}$ で因数分解します。

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3.4

$\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ と $e^{2 y}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

ステップ 3.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.6

$1 + e^{2 y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.6.2

$1 + e^{2 y}$ を $x (1 + e^{2 y})$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

ステップ 3.6.4

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u_{2} = 1 + e^{2 y}$ とします。次に $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1

$u_{2} = 1 + e^{2 y}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.2.1.1

$1 + e^{2 y}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

ステップ 4.2.2.1.2

微分します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{2 y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

ステップ 4.2.2.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.2.1.3.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = 2 y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 y$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.2.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.2.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 4.2.2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

ステップ 4.2.2.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

ステップ 4.2.2.1.3.5

$2$ を $e^{2 y}$ の左に移動させます。

$0 + 2 e^{2 y}$

ステップ 4.2.2.1.4

$0$ と $2 e^{2 y}$ をたし算します。

$2 e^{2 y}$

ステップ 4.2.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.5.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.7

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + e^{2 y}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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