微分積分例

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

ステップ 1.3

$\sqrt{1 - y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 1 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 1 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ を $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $1 - y$ で置き換えます。

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.2.2

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{- 2}$ を $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ に書き換えます。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{- 2} \ln (| x |) + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.2

対数の中の $- \frac{1}{- 2}$ を移動させて $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ を簡約します。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.4

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

ステップ 3.1.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - y)}^{1} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.2

簡約します。

$1 - y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$

ステップ 3.4.2

$- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

$\frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ を $- {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.3.1.3

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} + 1$

微分積分 例

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