微分積分例

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $(x + 1) y d x$ を足します。

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{2} y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y}$ に $y + 1$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

ステップ 3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

ステップ 3.3.2

$y$ を $(x + 1) y$ で因数分解します。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ に $x + 1$ をかけます。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2.6

簡約します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.2

$(x + 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3

簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.3.1.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 4.3.3.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.1.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.5

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

ステップ 4.3.6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

ステップ 4.3.7

簡約します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

ステップ 4.3.8

項を並べ替えます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

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