微分積分例

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $y \sqrt{x}$ を足します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

ステップ 1.1.2

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.1.2.3

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.3.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.3.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 2.3.1.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ を $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ を $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

微分積分 例

微分積分例