微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

ステップ 1

問題を数式で書きます。

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

ステップ 2

微分方程式の解を書き換えます。

$x y' - y = 2 x^{2} y$

ステップ 3

$y'$ を求めます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 3.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.3.1

$A$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $A x e^{x^{2}}$ の微分係数は $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ です。

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.5

$x$ を $1$ 乗します。

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.3.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.8.2

$2$ を $e^{x^{2}}$ の左に移動させます。

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

ステップ 3.3.10

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

ステップ 3.3.11

簡約します。

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ステップ 3.3.11.1

分配則を当てはめます。

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

ステップ 3.3.11.2

項を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

ステップ 3.3.11.3

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ の因数を並べ替えます。

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

ステップ 4

与えられた微分方程式に代入します。

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.1.3.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.2

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.1

$x (A e^{x^{2}})$ と $- A x e^{x^{2}}$ について因数を並べ替えます。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.2.2

$e^{x^{2}} A x$ から $e^{x^{2}} A x$ を引きます。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.2.3

$2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ と $0$ をたし算します。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

ステップ 5.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$x$ を移動させます。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

ステップ 5.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

ステップ 5.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

ステップ 5.4

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ の因数を並べ替えます。

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

ステップ 6

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = A x e^{x^{2}}$ は $x y' - y = 2 x^{2} y$ の解です

微分積分 例

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