微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

ステップ 2

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

ステップ 3.3

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$e^{- x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

ステップ 7.2

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

ステップ 7.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

ステップ 7.4.2

$\int e^{- x} \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

ステップ 7.4.3

$e^{- x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

ステップ 7.5

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

ステップ 7.6

$- - 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- - 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 7.7

掛け算します。

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ステップ 7.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 7.7.2

$\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

ステップ 7.8

$\int e^{- x} \sin (x) d x$ を解くと、 $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ であることが分かります。

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

ステップ 7.9

答えを簡約します。

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ステップ 7.9.1

$\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ を $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

ステップ 7.9.2

簡約します。

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ステップ 7.9.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.9.2.1.1

$e^{- x}$ を $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 7.9.2.1.1.1

$e^{- x}$ を $- \sin (x) e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

ステップ 7.9.2.1.1.2

$e^{- x}$ を $- \cos (x) e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

ステップ 7.9.2.1.1.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ で因数分解します。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

ステップ 7.9.2.1.2

$- 1$ を $- \sin (x) - \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.9.2.1.2.1

$- 1$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

ステップ 7.9.2.1.2.2

$- 1$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

ステップ 7.9.2.1.2.3

$- 1$ を $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ で因数分解します。

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

ステップ 7.9.2.1.3

負をくくり出します。

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

ステップ 7.9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$e^{- x}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

ステップ 8.2

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1.1

$\frac{e^{- x}}{2}$ を $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.3.1.2

まとめる。

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.3.1.3

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 8.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

微分積分 例

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