微分積分例

$\frac{d r}{d θ} = - π \sin (π θ)$ , $r (2) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d r = - π \sin (π θ) d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d r = \int - π \sin (π θ) d θ$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$r + C_{1} = \int - π \sin (π θ) d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- π$ は $θ$ に対して定数なので、 $- π$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = - π \int \sin (π θ) d θ$

ステップ 2.3.2

$u = π θ$ とします。次に $d u = π d θ$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d θ$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = π θ$ とします。 $\frac{d u}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$π θ$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

ステップ 2.3.2.1.2

$π$ は $θ$ に対して定数なので、 $θ$ に対する $π θ$ の微分係数は $π \frac{d}{d θ} [θ]$ です。

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$r + C_{1} = - π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

ステップ 2.3.3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$r + C_{1} = - π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$r + C_{1} = - π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{π}$ と $π$ をまとめます。

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$r + C_{1} = - \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$r + C_{1} = - 1 \cdot 1 \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$r + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$r + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$\cos (u)$ に $1$ をかけます。

$r + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $π θ$ で置き換えます。

$r + C_{1} = \cos (π θ) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$r = \cos (π θ) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $r = \cos (π θ) + K$ の $2$ を $θ$ に、 $3$ を $r$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = \cos (π \cdot 2) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\cos (π \cdot 2) + K = 3$ として書き換えます。

$\cos (π \cdot 2) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\cos (2 \cdot π) + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\cos (0) + K = 3$

ステップ 4.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1 + K = 3$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 3 - 1$

ステップ 4.3.2

$3$ から $1$ を引きます。

$K = 2$

ステップ 5

$2$ を $r = \cos (π θ) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $K$ に代入します。

$r = \cos (π θ) + 2$

微分積分 例

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