微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(1 - y)}^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(1 - y)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

ステップ 1.2

${(1 - y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 1 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 1 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u = \int d x$

ステップ 2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

ステップ 2.2.4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

ステップ 2.2.4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

ステップ 2.2.4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \int u^{- 2} d u = \int d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- (- u^{- 1} + C_{1}) = \int d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$- (- u^{- 1} + C_{1})$ を $- - \frac{1}{u} + C_{1}$ に書き換えます。

$- - \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

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ステップ 2.2.6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.6.2.2

$\frac{1}{u}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $1 - y$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{1 - y} = x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1 - y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

括弧を削除します。

$1 - y, 1, 1$

ステップ 3.1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$1 - y$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 - y} = x + K$ の各項に $1 - y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{1 - y} = x + K$ の各項に $1 - y$ を掛けます。

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$1 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x (1 - y) + K (1 - y)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = x \cdot 1 + x (- y) + K (1 - y)$

ステップ 3.2.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$1 = x + x (- y) + K (1 - y)$

ステップ 3.2.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = x - x y + K (1 - y)$

ステップ 3.2.3.1.4

分配則を当てはめます。

$1 = x - x y + K \cdot 1 + K (- y)$

ステップ 3.2.3.1.5

$K$ に $1$ をかけます。

$1 = x - x y + K + K (- y)$

ステップ 3.2.3.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = x - x y + K - K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $x - x y + K - K y = 1$ として書き換えます。

$x - x y + K - K y = 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- x y + K - K y = 1 - x$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- x y - K y = 1 - x - K$

ステップ 3.3.3

$y$ を $- x y - K y$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1

$y$ を $- x y$ で因数分解します。

$y (- x) - K y = 1 - x - K$

ステップ 3.3.3.2

$y$ を $- K y$ で因数分解します。

$y (- x) + y (- K) = 1 - x - K$

ステップ 3.3.3.3

$y$ を $y (- x) + y (- K)$ で因数分解します。

$y (- x - K) = 1 - x - K$

ステップ 3.3.4

$y (- x - K) = 1 - x - K$ の各項を $- x - K$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$y (- x - K) = 1 - x - K$ の各項を $- x - K$ で割ります。

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$- x - K$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{1 - x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{1 - x - K}{- x - K}$

ステップ 3.3.4.3.2.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$y = \frac{1 - x - K}{- (x) - K}$

ステップ 3.3.4.3.2.4

$- 1$ を $- (x) - K$ で因数分解します。

$y = \frac{1 - x - K}{- (x + K)}$

ステップ 3.3.4.3.2.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 3.3.4.3.2.5.1

$- (x + K)$ を $- 1 (x + K)$ に書き換えます。

$y = \frac{1 - x - K}{- 1 (x + K)}$

ステップ 3.3.4.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$

微分積分 例

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