微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 4 y}{x + 2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

$y$ を $x^{2} y - 4 y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 4 y}{x + 2}$

ステップ 1.1.1.2

$y$ を $- 4 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 4}{x + 2}$

ステップ 1.1.1.3

$y$ を $y x^{2} + y \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 4)}{x + 2}$

ステップ 1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 2^{2})}{x + 2}$

ステップ 1.1.3

因数分解。

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ステップ 1.1.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 2) (x - 2))}{x + 2}$

ステップ 1.1.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.1

$y$ を $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

ステップ 1.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2})$

ステップ 1.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

ステップ 1.4.2

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$

ステップ 1.4.2.2

$x - 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x - 2$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (x - 2) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int x - 2 d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ を $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$

微分積分 例

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