微分積分例

$(y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}) d x + (2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}]$

ステップ 1.2

総和則では、 $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = e^{x y^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y^{2}$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.3

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.6

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (2 \cdot x y)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.7

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$y$ を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.7.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1} y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1 + 2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.3.7.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

ステップ 1.4

$4 x^{3}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4 x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

ステップ 1.5.3

$2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y e^{x y^{2}}$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x y^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x \frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y^{2}$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.4

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.3.8

$e^{x y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

ステップ 2.4

$- 3 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y^{2} y^{1}) (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

ステップ 2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2 + 1} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

ステップ 2.5.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

ステップ 2.5.2.4

$2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

ステップ 2.5.4

$2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.2

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $2 x$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 x \int y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.3

$u = x y^{2}$ とします。次に $d u = 2 \cdot y x d y$ すると、 $\frac{1}{2 x} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.3.1

$u = x y^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 5.3.1.1

$x y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$

ステップ 5.3.1.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 5.3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 y)$

ステップ 5.3.1.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x y$

ステップ 5.3.1.5

$2 x$ と $y$ を並べ替えます。

$y (2 x)$

ステップ 5.3.1.6

括弧を削除します。

$y \cdot 2 x$

ステップ 5.3.1.7

$y$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot y x$

ステップ 5.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = 2 x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.4

$e^{u}$ と $\frac{1}{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2 x}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2 x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$2$ と $\frac{1}{2 x}$ をまとめます。

$f (x, y) = x (\frac{2}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6.2

$\frac{2}{2 x}$ と $x$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6.3.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6.4.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.6.5

$\int e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 3 y^{2} d y$

ステップ 5.8

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 \int y^{2} d y$

ステップ 5.9

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 5.10

簡約します。

$f (x, y) = e^{u} - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

ステップ 5.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 3}{3} y^{3} + C$

ステップ 5.11.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + C$

ステップ 5.11.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + C$

ステップ 5.11.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

ステップ 5.11.2.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 1}{1} y^{3} + C$

ステップ 5.11.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = e^{u} - y^{3} + C$

ステップ 5.12

$u$ のすべての発生を $x y^{2}$ で置き換えます。

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.2

総和則では、 $e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x y^{2}$ で置き換えます。

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.3.2

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.3.4

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.4

$- y^{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- y^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.6

簡約します。

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ステップ 8.6.1

$e^{x y^{2}} y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 8.6.3

$\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x y^{2}} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺から $y^{2} e^{x y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$

ステップ 9.1.2

$y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$y^{2} e^{x y^{2}}$ から $y^{2} e^{x y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

ステップ 9.1.2.2

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

ステップ 10

$4 x^{3}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

ステップ 10.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

ステップ 10.5.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = 1 x^{4} + C$

ステップ 10.5.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$g (x) = x^{4} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + x^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例