微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}}$

ステップ 1.2

両辺に $e^{2 y + 6}$ を掛けます。

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} (\frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

まとめる。

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

ステップ 1.3.2

$e^{2 y + 6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$e^{2 y + 6}$ を ${(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}$ で因数分解します。

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$15$ に $1$ をかけます。

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$e^{2 y + 6} d y = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{2 y + 6} d y = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 2 y + 6$ とします。次に $d u_{1} = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 2 y + 6$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$2 y + 6$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y + 6]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $2 y + 6$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d y} [6]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

$6$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y + 6$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $15$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = 3 x + 1$ とします。次に $d u_{2} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = 3 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$3 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$3$ を ${u_{2}}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1}{3}$ と $15$ をまとめます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{15}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.1.2

$15$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.1.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ を $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{3 x + 1} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} = - \frac{5}{3 x + 1} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6}) = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 y + 6}$ をまとめます。

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ を掛けます。

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{K (3 x + 1)}{3 x + 1})$

ステップ 3.2.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x + 1)}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x) + K \cdot 1}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K \cdot 1}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$K$ に $1$ をかけます。

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.1

$2$ と $\frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$ をまとめます。

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 5 + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4.3

$- 1$ を $3 K x$ で因数分解します。

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) - (- 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4.4

$- 1$ を $- 1 (5) - (- 3 K x)$ で因数分解します。

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4.5

$- 1$ を $K$ で因数分解します。

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K))}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4.6

$- 1$ を $- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K)$ で因数分解します。

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x - K))}{3 x + 1}$

ステップ 3.2.2.1.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$e^{2 y + 6} = - \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y + 6}) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2 y + 6$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y + 6})$ を展開します。

$(2 y + 6) \ln (e) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 y + 6) \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

ステップ 3.4.3

$2 y + 6$ に $1$ をかけます。

$2 y + 6 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$

ステップ 3.6

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

ステップ 3.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

$- 6$ を $2$ で割ります。

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 + K x + K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

微分積分 例

微分積分例