微分積分例

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ の各項を $x y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ の各項を $x y$ で割ります。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

ステップ 1.1.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$- \frac{x}{y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x y$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{x}{y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

ステップ 1.2.2.2

$y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

ステップ 1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

ステップ 1.2.4.2

$x \cdot x$ を $x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

ステップ 1.2.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.4

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

ステップ 1.5.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$x$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

ステップ 2.3.4.2

$x$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

ステップ 2.3.4.3

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

ステップ 2.3.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

ステップ 2.3.4.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

ステップ 2.3.5

負をくくり出します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

ステップ 2.3.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

ステップ 2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

ステップ 2.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.3.10

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.3.11

式を簡約します。

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ステップ 2.3.11.1

$0$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

ステップ 2.3.11.2

$1$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

ステップ 2.3.12

$- x^{2} + 1$ を $x$ で割ります。

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ステップ 2.3.12.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

ステップ 2.3.12.2

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

ステップ 2.3.12.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

ステップ 2.3.12.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

ステップ 2.3.12.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

ステップ 2.3.12.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

ステップ 2.3.12.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.13

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.15

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.16

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.17

簡約します。

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ステップ 2.3.17.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.17.2

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

微分積分 例

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