微分積分例

$t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 5 t e^{t}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d r}{d t} + M (t) r = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$t \ln (t) \frac{d r}{d t} + r = 5 t e^{t}$ の各項を $t \ln (t)$ で割ります。

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

ステップ 1.2

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{t \ln (t) \frac{d r}{d t}}{t \ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

ステップ 1.3

$\ln (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (t) \frac{d r}{d t}}{\ln (t)} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d r}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

ステップ 1.4

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 t e^{t}}{t \ln (t)}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d r}{d t} + \frac{r}{t \ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 1.5

$r$ を $\frac{r}{t \ln (t)}$ で因数分解します。

$\frac{d r}{d t} + r \frac{1}{t \ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 1.6

$r$ と $\frac{1}{t \ln (t)}$ を並べ替えます。

$\frac{d r}{d t} + \frac{1}{t \ln (t)} r = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 2

$P (t) = \frac{1}{t \ln (t)}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{t \ln (t)} d t}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{t \ln (t)}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = \ln (t)$ とします。次に $d u = \frac{1}{t} d t$ すると、 $t d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = \ln (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$\ln (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\ln (t)]$

ステップ 2.2.1.1.2

$t$ に関する $\ln (t)$ の微分係数は $\frac{1}{t}$ です。

$\frac{1}{t}$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{\ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (t)$ で置き換えます。

$e^{\ln (| \ln (t) |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (\ln (t))}$

ステップ 2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\ln (t)$

ステップ 3

各項に積分因数 $\ln (t)$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\ln (t)$ を掛けます。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) (\frac{1}{t \ln (t)} r) = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{t \ln (t)}$ と $r$ をまとめます。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{t \ln (t)} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 3.2.2

$\ln (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$\ln (t)$ を $t \ln (t)$ で因数分解します。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \ln (t) \frac{r}{\ln (t) t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 3.3

$\ln (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = \ln (t) \frac{5 e^{t}}{\ln (t)}$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (t) \frac{d r}{d t} + \frac{r}{t} = 5 e^{t}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\ln (t) r] = 5 e^{t}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [\ln (t) r] d t = \int 5 e^{t} d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\ln (t) r = \int 5 e^{t} d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\ln (t) r = 5 \int e^{t} d t$

ステップ 7.2

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$\ln (t) r = 5 (e^{t} + C)$

ステップ 7.3

簡約します。

$\ln (t) r = 5 e^{t} + C$

ステップ 8

$\ln (t) r = 5 e^{t} + C$ の各項を $\ln (t)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$\ln (t) r = 5 e^{t} + C$ の各項を $\ln (t)$ で割ります。

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\ln (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (t) r}{\ln (t)} = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

ステップ 8.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{5 e^{t}}{\ln (t)} + \frac{C}{\ln (t)}$

微分積分 例

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