微分積分例

$e^{y} d y - (1 + e^{y}) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $(1 + e^{y}) d x$ を足します。

$e^{y} d y = (1 + e^{y}) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{1 + e^{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + e^{y}}$ と $e^{y}$ をまとめます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

ステップ 3.2

$1 + e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{1 + e^{y}} (1 + e^{y}) d x$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 1 d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u = 1 + e^{y}$ とします。次に $d u = e^{y} d y$ すると、 $\frac{1}{e^{y}} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u = 1 + e^{y}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$1 + e^{y}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

ステップ 4.2.1.1.2

微分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 4.2.1.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

ステップ 4.2.1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ は $a^{y} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{y}$

ステップ 4.2.1.1.4

$0$ と $e^{y}$ をたし算します。

$e^{y}$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + e^{y}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 4.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + e^{y} |) = x + C$

微分積分 例

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