微分積分例

$2 x y + 6 x + (x^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x y + 6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$6 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $6 x$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x} - 4 \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 4 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $- 4 \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4 = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4) = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 2^{2}) = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{d y}{d x} ((x + 2) (x - 2)) = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$

ステップ 1.1.6

$\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ の各項を $(x + 2) (x - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2) = - 2 x y - 6 x$ の各項を $(x + 2) (x - 2)$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6.2.2

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ を $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$- 1$ を $- \frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ を $- \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

ステップ 1.2.1.3

$- 1$ を $- (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)}) - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)})$

ステップ 1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.2.3

$2 x$ を $2 x y + 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$2 x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 6 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.2.3.2

$2 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (3)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.2.3.3

$2 x$ を $2 x (y) + 2 x (3)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1}{y + 3}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (- \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

ステップ 1.5.2

$y + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$- \frac{1}{y + 3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} (\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3))$

ステップ 1.5.2.2

$y + 3$ を $\frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} (y + 3)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

ステップ 1.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 3} ((y + 3) \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)})$

ステップ 1.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 3} d y = - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y + 3$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y + 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 2.2.1.1.4

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 3$ で置き換えます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 2) (x - 2)} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{2} = (x + 2) (x - 2)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$(x + 2) (x - 2)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x - 2)]$

ステップ 2.3.4.1.2

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.3.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.3.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.3.4.2

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.4.1.3.5

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.3.4.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.3.4.1.3.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$x + 2 + (x - 2) (1 + 0)$

ステップ 2.3.4.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x + 2 + (x - 2) \cdot 1$

ステップ 2.3.4.1.3.8.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$x + 2 + x - 2$

ステップ 2.3.4.1.3.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x + 2 - 2$

ステップ 2.3.4.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.3.8.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.4.1.3.8.4.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $(x + 2) (x - 2)$ で置き換えます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 3 |) = - \ln (| (x + 2) (x - 2) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 3 |) + \ln (| (x + 2) (x - 2) |) = C$

ステップ 3.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y + 3 | | (x + 2) (x - 2) |) = C$

ステップ 3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y + 3 | | x (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

ステップ 3.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

ステップ 3.4.1.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 |) = C$

ステップ 3.4.1.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| y + 3 | | x \cdot x + 2 \cdot - 2 |) = C$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (| y + 3 | | x^{2} + 2 \cdot - 2 |) = C$

ステップ 3.4.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\ln (| y + 3 | | x^{2} - 4 |) = C$

ステップ 3.5

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (y + 3) (x^{2} - 4) |) = C$

ステップ 3.6

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 3) (x^{2} - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y (x^{2} - 4) + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 (x^{2} - 4) |) = C$

ステップ 3.6.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 4 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

ステップ 3.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 4$ を $y$ の左に移動させます。

$\ln (| y x^{2} - 4 \cdot y + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 |) = C$

ステップ 3.7.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$

ステップ 3.8

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |)} = e^{C}$

ステップ 3.9

対数の定義を利用して $\ln (| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 |$

ステップ 3.10

$y$ について解きます。

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ステップ 3.10.1

方程式を $| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$ として書き換えます。

$| y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 | = e^{C}$

ステップ 3.10.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y x^{2} - 4 y + 3 x^{2} - 12 = \pm e^{C}$

ステップ 3.10.3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.10.3.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$y x^{2} - 4 y - 12 = \pm e^{C} - 3 x^{2}$

ステップ 3.10.3.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$y x^{2} - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.4

$y$ を $y x^{2} - 4 y$ で因数分解します。

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ステップ 3.10.4.1

$y$ を $y x^{2}$ で因数分解します。

$y (x^{2}) - 4 y = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.4.2

$y$ を $- 4 y$ で因数分解します。

$y (x^{2}) + y \cdot - 4 = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.4.3

$y$ を $y (x^{2}) + y \cdot - 4$ で因数分解します。

$y (x^{2} - 4) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y (x^{2} - 2^{2}) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.6

因数分解。

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ステップ 3.10.6.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$y ((x + 2) (x - 2)) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.6.2

不要な括弧を削除します。

$y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$

ステップ 3.10.7

$y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ の各項を $(x + 2) (x - 2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.10.7.1

$y (x + 2) (x - 2) = \pm e^{C} - 3 x^{2} + 12$ の各項を $(x + 2) (x - 2)$ で割ります。

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.10.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.10.7.2.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.10.7.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.10.7.2.2

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.10.7.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{- 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 3.10.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.10.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

微分積分 例

微分積分例