微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x^{3} + 2 x^{2} + 5) y}{x (4 y^{3} + 3 y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{4 y^{3} + 3 y}{y}$ を掛けます。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$y$ を $4 y^{3} + 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$y$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

ステップ 1.3.1.2

$y$ を $3 y$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

ステップ 1.3.1.3

$y$ を $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

ステップ 1.3.2.2

$4 y^{2} + 3$ を $1$ で割ります。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{4 y^{3} + 3 y})$

ステップ 1.3.3

$y$ を $4 y^{3} + 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$y$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + 3 y})$

ステップ 1.3.3.2

$y$ を $3 y$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2}) + y \cdot 3})$

ステップ 1.3.3.3

$y$ を $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

ステップ 1.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{y}{y (4 y^{2} + 3)})$

ステップ 1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} \cdot \frac{1}{4 y^{2} + 3})$

ステップ 1.3.5

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$ に $\frac{1}{4 y^{2} + 3}$ をかけます。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x (4 y^{2} + 3)}$

ステップ 1.3.6

$4 y^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$4 y^{2} + 3$ を $x (4 y^{2} + 3)$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = (4 y^{2} + 3) \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{(4 y^{2} + 3) x}$

ステップ 1.3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{4 y^{3} + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y$ を $4 y^{3} + 3 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y$ を $4 y^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{y (4 y^{2}) + 3 y}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.1.1.2

$y$ を $3 y$ で因数分解します。

$\int \frac{y (4 y^{2}) + y \cdot 3}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.1.1.3

$y$ を $y (4 y^{2}) + y \cdot 3$ で因数分解します。

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.1.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{y (4 y^{2} + 3)}{y} d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$4 y^{2} + 3$ を $1$ で割ります。

$\int 4 y^{2} + 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int y^{2} d y + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

$\frac{4 y^{3}}{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.2.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{3}}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int \frac{3 x^{2}}{1} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.1.2.5

$3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int \frac{2 x}{1} d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2.2.5

$2 x$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 2 x d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 \int x d x + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{5}{x} d x$

ステップ 2.3.8

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 5 (\ln (| x |) + C_{6})$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y + C_{3} = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C_{7}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{4}{3} y^{3} + 3 y = x^{3} + x^{2} + 5 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例