微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x^{2}}$ , $y (1) = \frac{π}{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\arctan (x) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = 4 \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 4 \arctan (x) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 4 \arctan (x) + K$ の $1$ を $x$ に、 $\frac{π}{2}$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$\frac{π}{2} = 4 \arctan (1) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$ として書き換えます。

$4 \arctan (1) + K = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{π}{4} + K = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$π + K = \frac{π}{2}$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $π$ を引きます。

$K = \frac{π}{2} - π$

ステップ 4.3.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$K = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 4.3.3

$- π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$K = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$K = \frac{π - 2 π}{2}$

ステップ 4.3.5.2

$π$ から $2 π$ を引きます。

$K = \frac{- π}{2}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$K = - \frac{π}{2}$

ステップ 5

$- \frac{π}{2}$ を $y = 4 \arctan (x) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{π}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = 4 \arctan (x) - \frac{π}{2}$

微分積分 例

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