微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) + x \cos (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (\sin (x) + x \cos (x)) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sin (x) + x \cos (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sin (x) + x \cos (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.2

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

ステップ 2.3.3

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

ステップ 2.3.4

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$y + C_{1} = - \cos (x) + x \sin (x) + \cos (x) + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$- \cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$y + C_{1} = x \sin (x) + 0 + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

$x \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$y + C_{1} = x \sin (x) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = x \sin (x) + K$

微分積分 例