微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$x y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 5.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 5.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x y = \int x^{- 2} d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$x y = - x^{- 1} + C$

ステップ 5.3

$- x^{- 1} + C$ を $- \frac{1}{x} + C$ に書き換えます。

$x y = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 6

$x y = - \frac{1}{x} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x y = - \frac{1}{x} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = - \frac{1}{x \cdot x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{1}{x^{1} x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{1}{x^{1} x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = - \frac{1}{x^{1 + 1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

微分積分例