微分積分例

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ と $y (0) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$e^{- 6 y}$ を $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$e^{- 6 y}$ を $2 t e^{- 6 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

ステップ 1.1.2

$e^{- 6 y}$ を $- e^{- 6 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

ステップ 1.1.3

$e^{- 6 y}$ を $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

ステップ 1.3

$e^{- 6 y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- 6 y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{6 y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.2

$u = 6 y$ とします。次に $d u = 6 d y$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = 6 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$6 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [6 y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$6$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $6 y$ の微分係数は $6 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$6 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $6 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

ステップ 2.3.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ と $e^{6 y}$ をまとめます。

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$6 (t^{2} - t + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$6 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{6 y})$ を展開します。

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

ステップ 3.4.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

ステップ 3.5

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ の $0$ を $t$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ として書き換えます。

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$6$ に $0$ をかけます。

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.2.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.3

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.3.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\ln (K) = 12$

ステップ 6.4

$K$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

ステップ 6.5

対数の定義を利用して $\ln (K) = 12$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{12} = K$

ステップ 6.6

方程式を $K = e^{12}$ として書き換えます。

$K = e^{12}$

ステップ 7

$e^{12}$ を $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{12}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

ステップ 7.2

$\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ を $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

ステップ 7.3

対数の中の $\frac{1}{6}$ を移動させて $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ を簡約します。

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$

微分積分 例

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