微分積分例

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ の各項を $x (y - 3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ の各項を $x (y - 3)$ で割ります。

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

ステップ 1.1.2.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y - 3}{4 y}$ を掛けます。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{4 y}{y - 3}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

ステップ 1.4.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$y - 3$ を $(y - 3) x$ で因数分解します。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

ステップ 1.4.3

$4 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

ステップ 1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$y - 3$ を $y$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$0$

$y$

$3$

ステップ 2.2.2.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

ステップ 2.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

ステップ 2.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 0$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

ステップ 2.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

ステップ 2.2.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.8

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.9

簡約します。

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例