微分積分例

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = y \ln (x) + y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $y \ln (x) + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\ln (x)$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y \ln (x)$ の微分係数は $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.3

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

ステップ 2

$N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x \ln (x) - e^{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3.4

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3.6

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- e^{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- e^{y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

ステップ 2.4.2

$1 + \ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\ln (x) + 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1 + \ln (x)$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

ステップ 5.2

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

ステップ 5.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

ステップ 5.4

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

ステップ 5.5

簡約します。

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.2

総和則では、 $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x \ln (x) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.5

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

共通因数を約分します。

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.6.2

式を書き換えます。

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.3.7

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.4

$- e^{y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- e^{y}$ の微分係数は $0$ です。

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

ステップ 8.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

分配則を当てはめます。

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

ステップ 8.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.2.1

$y$ に $1$ をかけます。

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

ステップ 8.6.2.2

$y + y \ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

ステップ 8.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

ステップ 9.1.2

$y \ln (x)$ から $y \ln (x)$ を引きます。

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

ステップ 9.1.3

$- \frac{d g}{d x} - y + y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$- y$ と $y$ をたし算します。

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

ステップ 9.1.3.2

$- \frac{d g}{d x}$ と $0$ をたし算します。

$0 = - \frac{d g}{d x}$

ステップ 9.1.4

$\frac{d g}{d x}$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- \frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 9.1.5

$- \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.1

$- \frac{d g}{d x} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.1.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.1.5.2.2

$\frac{d g}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.1.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 10.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$

微分積分 例

微分積分例