微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} (1 + y^{2})$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (3 x^{2} (1 + y^{2}))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

ステップ 1.2.2

$3$ と $\frac{1}{1 + y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

ステップ 1.2.3

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$1 + y^{2}$ を $x^{2} (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 3 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (y) + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\arctan (y) + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = x^{3} + K$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (x^{3} + K)$

微分積分 例

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