微分積分例

$\frac{d x}{d t} = \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $x^{2} - 4 x + 4$ を掛けます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

ステップ 1.2.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.2.1.3

多項式を書き換えます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

ステップ 1.2.1.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$x^{2} - 4 x + 4$ に $\frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 1.2.3.3

多項式を書き換えます。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.3.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

共通因数を約分します。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$t - 1$ を $1$ で割ります。

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = t - 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(x^{2} - 4 x + 4) d x = (t - 1) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int x^{2} - 4 x + 4 d x = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 \int x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t d t + \int - 1 d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} + \int - 1 d t$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} - t + C_{6}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} - t + C_{7}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x = \frac{1}{2} t^{2} - t + K$

微分積分 例

微分積分例