微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y e^{x^{2}}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.3.2

まとめる。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x \cdot 1}{e^{x^{2}} y}$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \cdot 1}{e^{x^{2}} y}$

ステップ 1.3.3.2

$y$ を $e^{x^{2}} y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \cdot 1}{y e^{x^{2}}}$

ステップ 1.3.3.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \cdot 1}{y e^{x^{2}}}$

ステップ 1.3.3.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \cdot 1}{e^{x^{2}}}$

ステップ 1.3.4

$x$ に $1$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{e^{x^{2}}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{x^{2}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{x^{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x^{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2.2.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

ステップ 2.3.3

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u_{2} = e^{- x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$e^{- x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

ステップ 2.3.3.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.3.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.3.1.3

微分します。

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ステップ 2.3.3.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3.3.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

ステップ 2.3.3.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

ステップ 2.3.3.1.4

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$- 2 e^{- x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$u_{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3

$\frac{u_{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{- x^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{- x^{2}}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

微分積分 例

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