微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ に $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.2

$\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ に $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{x^{2}}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.6

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.6.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.6.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.7

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.8

商の法則 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ の累乗を利用します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

ステップ 6.1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = V$ です。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.1

$V$ を $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.1.1

$V$ を $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.1.2

$V$ を $- V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.1.3

$V$ を $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.3

$- 1$ と $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - V) (1 - V)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

$- 1 (- V)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

$V$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

$V$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

$V^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.2

$V$ から $V$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.4.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2.5.6

$0$ と $V^{2}$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

$V$ と $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4

指数を足して $V$ に $V^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.1

$V$ に $V^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.1.1

$V$ を $1$ 乗します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.6

まとめる。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

ステップ 6.1.1.3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.7.1

$V^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

ステップ 6.1.1.3.3.7.2

$\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ を掛けます。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

まとめる。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

ステップ 6.1.4.2

まとめる。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

ステップ 6.1.4.3

$1 + V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

ステップ 6.1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

ステップ 6.1.4.4

$1 - V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

ステップ 6.1.4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

ステップ 6.1.4.5

$V^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

ステップ 6.1.4.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$V^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

${(V^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

$(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.3

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.4

分配則を当てはめます。

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.5

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.6

分配則を当てはめます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.7

$V$ と $1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.8

$V$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.9

$1$ に $1$ をかけます。

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.10

$V^{- 3}$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.12

負をくくり出します。

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.13

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.15

$1$ から $3$ を引きます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.16

$V$ に $1$ をかけます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.17

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.19

$1$ から $3$ を引きます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.20

負をくくり出します。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.21

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.22

$V$ を $1$ 乗します。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.23

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.24

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.25

負をくくり出します。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.26

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.27

$2$ から $3$ を引きます。

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.28

$- V^{- 2}$ と $V^{- 2}$ をたし算します。

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.29

$0$ から $V^{- 1}$ を引きます。

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.30

$V^{- 3}$ と $- V^{- 1}$ を並べ替えます。

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$V^{- 1}$ の $V$ に関する積分は $\ln (| V |)$ です。

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

べき乗則では、 $V^{- 3}$ の $V$ に関する積分は $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ です。

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.8.1

簡約します。

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.8.2.1

$\frac{1}{V^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8.2.2

$2$ を $V^{2}$ の左に移動させます。

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.9

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$y$ について $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ を解きます。

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ステップ 8.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

積の法則を $\frac{y}{x}$ に当てはめます。

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

ステップ 8.2.2

$2$ と $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

ステップ 8.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

ステップ 8.2.4

$\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

ステップ 8.3

$- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.3.1

$- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2

$\ln (| \frac{y}{x} |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.3.1.1

$\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ を $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ に書き換えます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.4

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

ステップ 8.3.3.1.5

$\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

ステップ 8.3.3.1.6

$- 1 \cdot \ln (| x |)$ を $- \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

ステップ 8.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

ステップ 8.5

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

ステップ 8.6

$| \frac{y}{x} | | x |$ を掛けます。

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ステップ 8.6.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

ステップ 8.6.2

$\frac{y}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

ステップ 8.7

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.1

共通因数を約分します。

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

ステップ 8.7.2

$y$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

微分積分 例

微分積分例