微分積分例

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

ステップ 1

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ に $\ln (x) + 1$ をかけます。

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

ステップ 3.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

ステップ 3.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

ステップ 3.2.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.3

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.3.3.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.3.3.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 3.3.3.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.4

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 3.3.7

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

ステップ 4.1.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

ステップ 4.2

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ の各項に $2$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 4.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 4.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 4.2.3.1.2

$2$ を $\ln (| x |)$ の左に移動させます。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

ステップ 4.2.3.1.3

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

ステップ 4.3.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

ステップ 4.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

ステップ 4.5

方程式を $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ として書き換えます。

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

ステップ 4.6

方程式の両辺に $\ln (x^{2})$ を足します。

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

ステップ 4.7

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.8

$a = - 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9

簡約します。

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ステップ 4.9.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.9.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ で因数分解します。

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ステップ 4.9.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.2

$- 1$ を $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ で因数分解します。

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ステップ 4.9.1.2.1

$- 4$ と $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ を並べ替えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.2.2

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.2.3

$- 1$ を $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.2.4

$- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ を $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.3

指数をまとめます。

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ステップ 4.9.1.3.1

負をくくり出します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.3.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.4

$4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ を $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 4.9.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 4.9.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

ステップ 4.9.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ を簡約します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

ステップ 4.9.4

$\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

ステップ 4.9.5

$- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ を $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ に書き換えます。

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

ステップ 4.10

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

ステップ 5

積分定数を簡約します。

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

微分積分 例

微分積分例